51. N-Queens

题目

The n-queens puzzle is the problem of placing n queens on an n×n chessboard such that no two queens attack each other.

Given an integer n, return all distinct solutions to the n-queens puzzle.

Each solution contains a distinct board configuration of the n-queens' placement, where 'Q' and '.' both indicate a queen and an empty space respectively.

Example:

Input: 4
Output: [
 [".Q..",  // Solution 1
  "...Q",
  "Q...",
  "..Q."],

 ["..Q.",  // Solution 2
  "Q...",
  "...Q",
  ".Q.."]
]
Explanation: There exist two distinct solutions to the 4-queens puzzle as shown above.

题目大意

给定一个整数 n，返回所有不同的 n 皇后问题的解决方案。每一种解法包含一个明确的 n 皇后问题的棋子放置方案，该方案中 'Q' 和 '.' 分别代表了皇后和空位。

解题思路

• 求解 n 皇后问题
• 利用 col 数组记录列信息，col 有 n 列。用 dia1，dia2 记录从左下到右上的对角线，从左上到右下的对角线的信息，dia1 和 dia2 分别都有 2*n-1 个。
• dia1 对角线的规律是 i + j 是定值，例如[0,0]，为 0；[1,0]、[0,1] 为 1；[2,0]、[1,1]、[0,2] 为 2；
• dia2 对角线的规律是 i - j 是定值，例如[0,7]，为 -7；[0,6]、[1,7] 为 -6；[0,5]、[1,6]、[2,7] 为 -5；为了使他们从 0 开始，i - j + n - 1 偏移到 0 开始，所以 dia2 的规律是 i - j + n - 1 为定值。
• 还有一个位运算的方法，每行只能选一个位置放皇后，那么对每行遍历可能放皇后的位置。如何高效判断哪些点不能放皇后呢？这里的做法毕竟巧妙，把所有之前选过的点按照顺序存下来，然后根据之前选的点到当前行的距离，就可以快速判断是不是会有冲突。举个例子: 假如在 4 皇后问题中，如果第一二行已经选择了位置 [1, 3]，那么在第三行选择时，首先不能再选 1, 3 列了，而对于第三行， 1 距离长度为2，所以它会影响到 -1, 3 两个列。同理，3 在第二行，距离第三行为 1，所以 3 会影响到列 2, 4。由上面的结果，我们知道 -1, 4 超出边界了不用去管，别的不能选的点是 1, 2, 3，所以第三行就只能选 0。在代码实现中，可以在每次遍历前根据之前选择的情况生成一个 occupied 用来记录当前这一行，已经被选了的和由于之前皇后攻击范围所以不能选的位置，然后只选择合法的位置进入到下一层递归。另外就是预处理了一个皇后放不同位置的字符串，这样这些字符串在返回结果的时候是可以在内存中复用的，省一点内存。

代码

package leetcode

// 解法一 DFS
func solveNQueens(n int) [][]string {
	col, dia1, dia2, row, res := make([]bool, n), make([]bool, 2*n-1), make([]bool, 2*n-1), []int{}, [][]string{}
	putQueen(n, 0, &col, &dia1, &dia2, &row, &res)
	return res
}

// 尝试在一个n皇后问题中, 摆放第index行的皇后位置
func putQueen(n, index int, col, dia1, dia2 *[]bool, row *[]int, res *[][]string) {
	if index == n {
		*res = append(*res, generateBoard(n, row))
		return
	}
	for i := 0; i < n; i++ {
		// 尝试将第index行的皇后摆放在第i列
		if !(*col)[i] && !(*dia1)[index+i] && !(*dia2)[index-i+n-1] {
			*row = append(*row, i)
			(*col)[i] = true
			(*dia1)[index+i] = true
			(*dia2)[index-i+n-1] = true
			putQueen(n, index+1, col, dia1, dia2, row, res)
			(*col)[i] = false
			(*dia1)[index+i] = false
			(*dia2)[index-i+n-1] = false
			*row = (*row)[:len(*row)-1]
		}
	}
	return
}

func generateBoard(n int, row *[]int) []string {
	board := []string{}
	res := ""
	for i := 0; i < n; i++ {
		res += "."
	}
	for i := 0; i < n; i++ {
		board = append(board, res)
	}
	for i := 0; i < n; i++ {
		tmp := []byte(board[i])
		tmp[(*row)[i]] = 'Q'
		board[i] = string(tmp)
	}
	return board
}

// 解法二 二进制操作法 Signed-off-by: Hanlin Shi shihanlin9@gmail.com
func solveNQueens2(n int) (res [][]string) {
	placements := make([]string, n)
	for i := range placements {
		buf := make([]byte, n)
		for j := range placements {
			if i == j {
				buf[j] = 'Q'
			} else {
				buf[j] = '.'
			}
		}
		placements[i] = string(buf)
	}
	var construct func(prev []int)
	construct = func(prev []int) {
		if len(prev) == n {
			plan := make([]string, n)
			for i := 0; i < n; i++ {
				plan[i] = placements[prev[i]]
			}
			res = append(res, plan)
			return
		}
		occupied := 0
		for i := range prev {
			dist := len(prev) - i
			bit := 1 << prev[i]
			occupied |= bit | bit<<dist | bit>>dist
		}
		prev = append(prev, -1)
		for i := 0; i < n; i++ {
			if (occupied>>i)&1 != 0 {
				continue
			}
			prev[len(prev)-1] = i
			construct(prev)
		}
	}
	construct(make([]int, 0, n))
	return
}

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